ФИГУРЫ И ТЕЛА. Геометрия вокруг нас

Кое-кто, возможно, считает, что различ­ные замысловатые линии и поверхности мож­но встретить только в книгах ученых-матема­тиков.

Однако стоит внимательно осмотреться, и мы сразу обнаружим вокруг нас всевозможные гео­метрические фигуры. Оказывается, их очень иного. Просто мы их раньше не замечали.

Вот комната. Все ее стены, пол и потолок являются плоскостями (не будем об­ращать внимания на проемы окон и дверей), а сама комната имеет форму параллеле­пипеда.

Посмотрим на паркетный пол. Планки пар­кета — прямоугольники или квад­раты. Пройдем в ванную комнату. Плитки пола там часто бывают правильными шести­угольниками или восьмиугольниками, между которыми уложены неболь­шие квадратики. Но вернемся в комнату и посмотрим на ме­бель. Шкаф в своей основе — параллелепипед. Письменный стол не что иное, как очень пло­ский параллелепипед, лежащий на двух дру­гих параллелепипедах — тумбочках, в которых размещаются ящики. На столике — лампа с аба­журом. Этот абажур — конус.

Ведро представляет собой усеченный конус, у которого верхнее основание больше нижнего. Впрочем, ведро бывает и цилиндри­ческой формы. Вообще цилиндров и конусов в доме очень много. Все прямые трубы (водопро­вод, паровое отопление, газопровод) — цилиндры. А там, где трубы изогнуты, обра­зуются так называемые каналовые или трубчатые поверхности.

В буфете стоит посуда. Вот граненый стакан с боковой поверхностью правильной многогран­ной усеченной пирамиды. Чайное блюдечко — тоже усеченный конус. Воронка состоит из двух усеченных конусов, которые переходят один в другой.

Нальем в стакан воду. Края ее поверхности имеют форму круга. Наклоним стакан так, чтобы вода не выливалась; тогда край водной поверхности станет эллипсом.

Выйдем на улицу. Перед нами — дома. Если не обращать внимания на различные осо­бенности их архитектурной отделки, можно ска­зать, что стены домов являются плоскостями. Две стены, встречаясь под углом, пересе­каются по прямой линии. Дом в целом, с этой точки зрения, есть тело, ограниченное пересе­кающимися друг с другом плоскостями, т. е. многогранник. На вклейке изображен такой дом-многогранник. Он состоит из нескольких параллелепипедов и призм, переходя­щих друг в друга.

Многие жилые дома, дворцы, общественные здания украшены ко­лоннами. Колонны в большинстве случаев — цилиндры, но могут иметь и более сложную форму.

Кто был в Москве, знает, как красив Мо­сковский Кремль. Пре­красны его башни! Сколько интересных гео­метрических фигур по­ложено в их основу! Вот, например, Набат­ная башня (см. рис.). На вы­соком параллелепипеде стоит параллелепипед поменьше, с проемами для окон, а еще выше воздвигнута четырех­угольная усеченная пирамида. На ней располо­жены четыре арки, увенчанные восьмиуголь­ной пирамидой.

По улице движутся автомобили, трамваи, троллейбусы. Их колеса с геометрической точки зрения — круги. Мы настолько привыкли к этому, что даже не ду­маем об окружности как о кривой, которая по­могла людям во много раз облегчить труд. А ведь было время, ког­да люди еще не знали колеса.

Посмотрим на авто­мобильные фары. Их внутренняя поверх­ность зеркальная. Конструкторы автомобилей знают, что свет должен выходить из фар пуч­ком параллельных лучей: тогда сила света бу­дет слабее всего уменьшаться с увеличени­ем расстояния. А чтобы зеркало фар отража­ло лучи параллельным пучком, зеркалу нужно придать форму параболоида враще­ния, внутри которого в определенной точке (в фокусе) находится лампочка. Параболоид вращения — это поверхность, которая образует­ся при вращении параболы вокруг ее оси.

У некоторых марок автомобилей фары на­ходятся внутри капота и снаружи виднеется только стекло. У других же весь корпус фары выступает наружу и ясно видно, что она пара­болической формы.

Параболоид вращения служит отражающим зеркалом и у прожекторов, которые посылают в небо мощные лучи. Форму параболоида вра­щения имеет купол Московского планетария.

Перед нами мост. Арки мостов бывают раз­ной формы: одни из них эллиптические, другие— параболические. На парапете моста часто укрепляют спасательные круги. Они по форме очень близки к тору. Тор — это поверх­ность, образующаяся при вращении окруж­ности вокруг оси, когда ось не пересекается с окружностью, но лежит с ней в одной плоско­сти.

Мы подходим к радиостанции. Здесь возвы­шаются радиомачты с излучателями электро­магнитных колебаний на верхушках. Но какой странной формы эти мачты! Они состоят из отдельных частей (секций), поставленных друг на друга. А каждая секция похожа на круглую сетку, образованную прямолинейными стерж­нями.

Рассмотрим любую из секций (они отлича­ются только размерами). Представим себе, что стержни расположены вплотную друг к другу. В таком случае они будут образовывать заме­чательную кривую поверхность, которая назы­вается одно полостным гипербо­лоидом. Те прямолинейные стержни, кото­рые мы видим, не что иное, как прямоли­нейные образующие этой поверх­ности. Посмотрите на однополостный гипербо­лоид (см. рис.). Трудно поверить, что он состоит из прямых линий. Однако это именно так. Эта конструкция очень легка и отличается исключительной прочностью.

Иногда строят односекционные вышки из прямолинейных металлических стержней высо­той в многоэтажный дом. Так построена во­донапорная башня около Сельскохозяйственной академии им. К. А. Тимирязева в Москве. Та­кие башни были впервые сконструированы советским инженером В. Г. Шуховым и называ­ются шуховскими.

Своим названием однополостный гипербо­лоид обязан гиперболе. Эта поверхность обра­зована вращением гиперболы вокруг той из ее осей, которая ее не пересекает. В таком случае при вращении образуется единая поверхность (одна полость).

А теперь сядем в поезд. Город остался далеко позади. Бегут телеграфные столбы. Но и здесь геометрия не покидает нас. Вдоль дороги на столбах натянуты провода. Вот проходит линия высоковольтной передачи. Провода от собствен­ной тяжести слегка провисают. Какая же ли­ния образуется при этом? Такой вопрос имеет большое практическое значение. Когда требуется определить длину провода, необходимого для передачи электроэнергии на большие расстоя­ния, приходится учитывать, что его длина (бла­годаря провисанию) будет большей, чем расстояние между конечными пунктами линии электро­передачи. И чтобы точно подсчитать длину проводов, необходимо определить, какая имен­но линия образуется при провисании провода между двумя столбами. Оказывается, что меж­ду каждыми двумя столбами провод провисает по так называемой цепной линии. Точно так же провисает и шнур, укрепленный на двух гвоздиках, вбитых в стену. Цепная ли­ния очень похожа на параболу, но это не парабо­ла; свойства цепной линии и параболы различны.

Наш поезд идет по прямолинейному железно­дорожному пути и время от времени плавно проходит закругления рельсов. Плавное движе­ние поезда на изгибах железнодорожного полот­на обусловлено тем, что железнодорожный путь на закруглениях искривлен не просто по окруж­ности, а также по некоторым довольно замыс­ловатым кривым. Лишь иногда, на очень крутых поворотах, мы ощущаем, что нас слегка оттал­кивает к одной из стенок вагона. Мы знаем, что на закруглениях на вагоны действует сила, кото­рую называют центробежной. Она стремится опро­кинуть вагоны и отклоняет все тела, находящие­ся в поезде, к внешней стороне закругления.

Чтобы вагоны не опрокинулись, внешний рельс железнодорожного полотна на повороте слегка поднимают по сравнению с внутренним, и этот подъем тем больше, чем круче поворот. Но если заставить поезд сразу переходить с прямолинейного участка пути на круговой, то надо сразу и круто приподнять один из рельсов и вагоны будут испытывать при переходе рез­кие и сильные толчки. Чтобы этого избежать, переход на закругление делают постепенным. После прямолинейного участка пути рельсы сначала укладывают по так называемой пе­реходной кривой (вдоль которой искрив­ленность возрастает постепенно) и лишь потом эту кривую переводят в дугу окружности. Так поступают и в конце поворота. В качестве переходных используются разные линии (в зави­симости от кривизны поворота, скорости поезда на повороте и т. д.). Обычно применяют либо дугу кубической параболы, либо дугу лемнискаты, либо дугу спи­рали Корню (см. рис.).

До сих пор мы говорили только о тех про­стейших линиях и поверхностях, которые вид­ны с первого взгляда. А если присмотреться внимательнее, то обнаружим все новые и новые линии и поверхности.

Заглянем на завод. Заводские трубы — при­мер усеченного конуса: широкие снизу, они постепенно суживаются кверху. На заводе работают станки. Какое множество самых разнооб­разных линий описывают различные движущиеся части станков! На любом винте имеются винто­вые нарезки. Мы увидим станки с эллиптиче­скими колесами, зубчатые колеса с самыми раз­нообразными формами зубцов, выточенных по дуге циклоиды, эллипса, эволь­венты круга. Свойства этих кривых, имею­щих важное применение в технике, изучаются средствами высшей математики.

Кажется, мы не упомянули еще о шаро­вой поверхности. А ведь она встречает­ся часто. Вспомним хотя бы шариковые под­шипники. Более того, форму шара придают иног­да и газгольдерам, т. е. резервуарам для хране­ния газа (см. рис.). Это объяс­няется одним замечательным свойством шаровой поверхности: на изготовление шара расходует­ся значительно меньше материала, чем на сосуд любой другой формы того же объема.

А сколько еще встречается различных по­верхностей, сложных по форме, не имеющих специальных названий!

Вот паровой котел, напоминающий цилиндр. В нем находится пар под высоким давлением. Поэтому стенки цилиндра слегка (пусть неза­метно для глаза) изгибаются, образуя поверх­ность очень сложной и неправильной формы, ко­торую, однако, инженеры обязаны хорошо знать, чтобы суметь рассчитать котел на проч­ность. Сложную форму имеет и корпус подвод­ной лодки. Он должен быть хорошо обтекае­мым, прочным и вместительным. От формы корабельного корпуса зависит и прочность корабля, него устойчивость, и скорость.

Высокие скорости движения заставили инже­неров обратить серьезное внимание на форму современных поездов, самолетов, автомобилей. Именно от нее зависит встречное сопротивление воздуха, которое быстро возрастает с увеличе­нием скорости. А если форма будет удачной, обтекаемой, сопротивление воздуха можно зна­чительно уменьшить. Например гоночный ав­томобиль; его кузову придают такую форму, чтобы встречные потоки воздуха плавно обте­кали машину и плотнее прижимали ее к земле (см. рис. ).

Мотор автомобиля заключен в обтекаемый капот, ветровое стекло отклонено назад, крыша кузова плавно переходит в наклонную заднюю стенку, И капот, и крыша, и задняя стенка не плоские. Они представляют собой сложные по­верхности, с которыми школьная математика не имеет дела. Но ими очень интересуются ин­женеры, которые тщательно их рассчитывают в своих конструкторских бюро.

Мы живем в эпоху завоевания космоса. Наши ракеты запускают космические корабли, спутники Земли. Космическая лаборатория сфотографировала обратную сторону Луны.

Какие геометрические формы мы здесь ис­пользуем? В основе корпус ракеты состоит из цилиндра, заключающего внутри себя двига­тели и горючее. В конической головной части помещается кабина с приборами или с космо­навтом (см. рис.).

Итак, мы познакомились со множеством различных линий, поверхностей и тел, которые нас окружают. Теперь вы и сами, несомненно, заметите множество геометрических форм, о которых мы здесь не упоминали.

Впрочем, об одной из них, о линии, которую никто не видит, но которая всегда находится около нас, мы расскажем, ибо заметить ее само­му, ничего не зная о ней заранее, невозможно.

Пол и потолок в нашей комнате поддержи­ваются балками, концы которых вмурованы в стены. Балки под влиянием большой нагрузки слегка прогибаются (этот прогиб незаметен для глаза), и, чтобы рассчитать допустимую на­грузку на балки, архитектор должен знать линию ее прогиба. Оказывается, балка, поддер­живающая пол или потолок, прогибается по кривой, которая называется параболой 4-й степени. Не будет преувеличением сказать, что эта линия всегда находится у нас под ногами и всегда висит над нашей головой.

Мы видим, сколько самых разнообразных геометрических линии и поверхностей исполь­зует человек в своей деятельности — при строи­тельстве жилищ, фабрик, заводов, мостов, ма­шин, в транспорте. Пользуется же он ими не из простой любви к интересным геометрическим фигурам, а потому, что свойства этих геометри­ческих линий и поверхностей позволяют с наи­большей простотой решать разнообразные тех­нические задачи.

Но чтобы применять эти свойства в технике, надо их знать. Следовательно, надо изучать все эти линии и поверхности. И не только их, но и многие другие, так как техника развивает­ся и с каждым годом использует для своих нужд все новые и новые геометрические формы. Изучая свойства разных линий и поверхностей, мы ставим себе целью выразить эти свойства в виде формул, чтобы уметь по ним производить расчеты машин, зданий и других сооружений.

До сих пор мы в основном упоминали о гео­метрических формах, созданных руками чело­века. Однако и в самой природе очень много замечательных геометрических форм.

Так, мы живем на своеобразной поверхно­сти, которая хотя и именуется земным шаром, но на самом деле является, как говорят астро­номы, геоидом и по форме очень близка к эллипсоиду вращения (рис.). Этот эллипсоид образован вращением эллипса вокруг его малой оси. Правда, он мало отличается от шара (полуоси эллипса, враще­нием которого образован эллипсоид, относятся друг к другу как 299/300). Но все-таки это различие приходится принимать во внимание при составлении географических карт.

Взглянем на кристаллы (рис.). Мы обнаружим в них сочетание призм, пирамид и других многогранников.

Листья на деревьях ограничены самыми при­чудливыми линиями.

Ничего не может быть проще и однообразнее для глаза, чем безграничная плоская поверх­ность моря в безветренную погоду. Но сколько хлопот причиняет людям морская поверхность, едва подует ветер! Вначале образуются небольшие волны, потом они принимают самую при­чудливую геометрическую форму, сталкиваясь между собой, обгоняя друг друга, попадая в узкие проливы или на отмели, ударяясь о стенки молов и причалов. Формы поверхности этих волн приходится изучать в физике и меха­нике, так как на основе этого изучения проек­тируются корпуса кораблей, наименее подвер­женные качке, а также наиболее прочные стен­ки волнорезов и набережных, успешно сопро­тивляющиеся ударам волн.

Во многих случаях наблюдения над явления­ми природы помогают человеку в решении его технических задач. Достаточно сказать, что на заре развития авиации наш знаменитый ученый Н. Е. Жуковский, которого В. И. Ленин назвал «отцом русской авиации», и С. А. Чап­лыгин исследовали полет птиц, чтобы сделать выводы относительно наивыгоднейшей формы крыла самолета и условий его полета.

Из всего сказанного видно, какую важную роль в нашей жизни играет геометрия.

Наша школьная, элементарная геометрия изучает лишь простейшие из геометрических фигур. Но существуют и другие геометрические науки, изучающие более сложные линии и по­верхности.