Числа-,,самородки»

Возьмем какое-нибудь целое поло­жительное число, например 13. Приба­вим сумму его цифр, тогда образуется число 17. К этому результату тоже прибавим сумму его цифр, образуется число 25. Продолжая так действовать, получим последовательность чисел: 13, 17, 25, 32, 37, 47, …

Прежде всего давайте выясним, можно ли полученную последователь­ность продолжить влево, т. е. сущест­вует ли число, которое в сумме с его же цифрами дало бы 13? Пробуем 12:

12+3=15 — плохо. Пробуем 11:

11+2=13 — хорошо. Значит, перед числом 13 в нашей по­следовательности должно быть чи­сло 11. А перед ним? Попробуем 10:

10 + 1 = 11 — хорошо. А перед числом 10? Здесь и без пробы ясно, что числу 10 будет

предшествовать 5. В самом деле:

5 + 5= 10.

Но уже для числа 5 нет предшест­венника среди целых положительных чисел. Таким образом, в последова­тельности:

5, 10, 11, 13, 17, 25, … все числа, кроме пятерки, «сформи­рованы» по единому правилу, а число 5 оказалось как бы «самородком» .

Отправимся в поиски других «са­мородков», аналогичных числу 5.

Однозначные «самородки» об­наруживаются сразу. Это, очевидно, 1, 3, 5, 7 и 9.

Из двузначных наименьшим «са­мородком» будет число 20. (Легко убедиться, что ни одно из чисел от 1 до 19 в сумме с его же цифрами не образует 20.) Следующий двузначный «самородок» — число 31. (Убедитесь!)

А сколько же всего двузначных «самородков» ? Выясните самостоя­тельно.

Есть «самородки» и среди много­значных чисел, например: 132, 143, 233, 929, 1952, 874 531 и т. д.

Не так-то легко было выявить их!

Ответ:

Вот все дву­значные «самородки»: 20, 31, 42, 53, 64, 75, 86, 97.