ФИГУРЫ И ТЕЛА. Геометрия вокруг нас
ФИГУРЫ И ТЕЛА. Геометрия вокруг нас
Кое-кто, возможно, считает, что различные замысловатые линии и поверхности можно встретить только в книгах ученых-математиков.
Однако стоит внимательно осмотреться, и мы сразу обнаружим вокруг нас всевозможные геометрические фигуры. Оказывается, их очень иного. Просто мы их раньше не замечали.
Вот комната. Все ее стены, пол и потолок являются плоскостями (не будем обращать внимания на проемы окон и дверей), а сама комната имеет форму параллелепипеда.
Посмотрим на паркетный пол. Планки паркета — прямоугольники или квадраты. Пройдем в ванную комнату. Плитки пола там часто бывают правильными шестиугольниками или восьмиугольниками, между которыми уложены небольшие квадратики. Но вернемся в комнату и посмотрим на мебель. Шкаф в своей основе — параллелепипед. Письменный стол не что иное, как очень плоский параллелепипед, лежащий на двух других параллелепипедах — тумбочках, в которых размещаются ящики. На столике — лампа с абажуром. Этот абажур — конус.
Ведро представляет собой усеченный конус, у которого верхнее основание больше нижнего. Впрочем, ведро бывает и цилиндрической формы. Вообще цилиндров и конусов в доме очень много. Все прямые трубы (водопровод,
паровое отопление, газопровод) — цилиндры. А там, где трубы изогнуты, образуются так называемые каналовые или трубчатые поверхности.
В буфете стоит посуда. Вот граненый стакан с боковой поверхностью правильной многогранной усеченной пирамиды. Чайное блюдечко — тоже усеченный конус. Воронка состоит из двух усеченных конусов, которые переходят один в другой.
Нальем в стакан воду. Края ее поверхности имеют форму круга. Наклоним стакан так, чтобы вода не выливалась; тогда край водной поверхности станет эллипсом.
Выйдем на улицу. Перед нами — дома. Если не обращать внимания на различные особенности их архитектурной отделки, можно сказать, что стены домов являются плоскостями. Две стены, встречаясь под углом, пересекаются по прямой линии. Дом в целом, с этой точки зрения, есть тело, ограниченное пересекающимися друг с другом плоскостями, т. е. многогранник. На вклейке изображен такой дом-многогранник. Он состоит из нескольких параллелепипедов и призм, переходящих друг в друга.
Многие жилые дома, дворцы, общественные здания украшены колоннами. Колонны в большинстве случаев — цилиндры, но могут иметь и более сложную форму.
Кто был в Москве, знает, как красив Московский Кремль. Прекрасны его башни! Сколько интересных геометрических фигур положено в их основу! Вот, например, Набатная башня (см. рис.). На высоком параллелепипеде стоит параллелепипед поменьше, с проемами для окон, а еще выше воздвигнута четырехугольная усеченная пирамида. На ней расположены четыре арки, увенчанные восьмиугольной пирамидой.
По улице движутся автомобили, трамваи, троллейбусы. Их колеса с геометрической точки зрения — круги. Мы настолько привыкли к этому, что даже не думаем об окружности как о кривой, которая помогла людям во много раз облегчить труд. А ведь было время, когда люди еще не знали колеса.
Посмотрим на автомобильные фары. Их внутренняя поверхность зеркальная. Конструкторы автомобилей знают, что свет должен выходить из фар пучком параллельных лучей: тогда сила света будет слабее всего уменьшаться с увеличением расстояния. А чтобы зеркало фар отражало лучи параллельным пучком, зеркалу нужно придать форму параболоида вращения, внутри которого в определенной точке (в фокусе) находится лампочка. Параболоид вращения — это поверхность, которая образуется при вращении параболы вокруг ее оси.
У некоторых марок автомобилей фары находятся внутри капота и снаружи виднеется только стекло. У других же весь корпус фары выступает наружу и ясно видно, что она параболической формы.
Параболоид вращения служит отражающим зеркалом и у прожекторов, которые посылают в небо мощные лучи. Форму параболоида вращения имеет купол Московского планетария.
Перед нами мост. Арки мостов бывают разной формы: одни из них эллиптические, другие— параболические. На парапете моста часто укрепляют спасательные круги. Они по форме очень близки к тору. Тор — это поверхность, образующаяся при вращении окружности вокруг оси, когда ось не пересекается с окружностью, но лежит с ней в одной плоскости.
Мы подходим к радиостанции. Здесь возвышаются радиомачты с излучателями электромагнитных колебаний на верхушках. Но какой странной формы эти мачты! Они состоят из отдельных частей (секций), поставленных друг на друга. А каждая секция похожа на круглую сетку, образованную прямолинейными стержнями.
Рассмотрим любую из секций (они отличаются только размерами). Представим себе, что стержни расположены вплотную друг к другу. В таком случае они будут образовывать замечательную кривую поверхность, которая называется одно полостным гиперболоидом. Те прямолинейные стержни, которые мы видим, не что иное, как прямолинейные образующие этой поверхности. Посмотрите на однополостный гиперболоид (см. рис.). Трудно поверить, что он состоит из прямых линий. Однако это именно так. Эта конструкция очень легка и отличается исключительной прочностью. 
Иногда строят односекционные вышки из прямолинейных металлических стержней высотой в многоэтажный дом. Так построена водонапорная башня около Сельскохозяйственной академии им. К. А. Тимирязева в Москве. Такие башни были впервые сконструированы советским инженером В. Г. Шуховым и называются шуховскими.
Своим названием однополостный гиперболоид обязан гиперболе. Эта поверхность образована вращением гиперболы вокруг той из ее осей, которая ее не пересекает. В таком случае при вращении образуется единая поверхность (одна полость).
А теперь сядем в поезд. Город остался далеко позади. Бегут телеграфные столбы. Но и здесь геометрия не покидает нас. Вдоль дороги на столбах натянуты провода. Вот проходит линия высоковольтной передачи. Провода от собственной тяжести слегка провисают. Какая же линия образуется при этом?  Такой вопрос имеет большое практическое значение. Когда требуется определить длину провода, необходимого для передачи электроэнергии на большие расстояния, приходится учитывать, что его длина (благодаря провисанию) будет большей, чем расстояние между конечными пунктами линии электропередачи. И чтобы точно подсчитать длину проводов, необходимо определить, какая именно линия образуется при провисании провода между двумя столбами. Оказывается, что между каждыми двумя столбами провод провисает по так называемой цепной линии. Точно так же провисает и шнур, укрепленный на двух гвоздиках, вбитых в стену. Цепная линия очень похожа на параболу, но это не парабола; свойства цепной линии и параболы различны.
Наш поезд идет по прямолинейному железнодорожному пути и время от времени плавно проходит закругления рельсов. Плавное движение поезда на изгибах железнодорожного полотна обусловлено тем, что железнодорожный путь на закруглениях искривлен не просто по окружности, а также по некоторым довольно замысловатым кривым. Лишь иногда, на очень крутых поворотах, мы ощущаем, что нас слегка отталкивает к одной из стенок вагона. Мы знаем, что на закруглениях на вагоны действует сила, которую называют центробежной. Она стремится опрокинуть вагоны и отклоняет все тела, находящиеся в поезде, к внешней стороне закругления.
Чтобы вагоны не опрокинулись, внешний рельс железнодорожного полотна на повороте слегка поднимают по сравнению с внутренним, и этот подъем тем больше, чем круче поворот. Но если заставить поезд сразу переходить с прямолинейного участка пути на круговой, то надо сразу и круто приподнять один из рельсов и вагоны будут испытывать при переходе резкие и сильные толчки. Чтобы этого избежать, переход на закругление делают постепенным. После прямолинейного участка пути рельсы сначала укладывают по так называемой переходной кривой (вдоль которой искривленность возрастает постепенно) и лишь потом эту кривую переводят в дугу окружности. Так поступают и в конце поворота. В качестве переходных используются разные линии (в зависимости от кривизны поворота, скорости поезда на повороте и т. д.). Обычно применяют либо дугу кубической параболы, либо дугу лемнискаты, либо дугу спирали Корню (см. рис.).
До сих пор мы говорили только о тех простейших линиях и поверхностях, которые видны с первого взгляда. А если присмотреться внимательнее, то обнаружим все новые и новые линии и поверхности.
Заглянем на завод. Заводские трубы — пример усеченного конуса: широкие снизу, они постепенно суживаются кверху. На заводе работают станки. Какое множество самых разнообразных линий описывают различные движущиеся части станков! На любом винте имеются винтовые нарезки. Мы увидим станки с эллиптическими колесами, зубчатые колеса с самыми разнообразными формами зубцов, выточенных по дуге циклоиды, эллипса, эвольвенты круга. Свойства этих кривых, имеющих важное применение в технике, изучаются средствами высшей математики.
Кажется, мы не упомянули еще о шаровой поверхности. А ведь она встречается часто. Вспомним хотя бы шариковые подшипники. Более того, форму шара придают иногда и газгольдерам, т. е. резервуарам для хранения газа (см. рис.). Это объясняется одним замечательным свойством шаровой поверхности: на изготовление шара расходуется значительно меньше материала, чем на сосуд любой другой формы того же объема.
А сколько еще встречается различных поверхностей, сложных по форме, не имеющих специальных названий!
Вот паровой котел, напоминающий цилиндр. В нем находится пар под высоким давлением. Поэтому стенки цилиндра слегка (пусть незаметно для глаза) изгибаются, образуя поверхность очень сложной и неправильной формы, которую, однако, инженеры обязаны хорошо знать, чтобы суметь рассчитать котел на прочность. Сложную форму имеет и корпус подводной лодки. Он должен быть хорошо обтекаемым, прочным и вместительным. От формы корабельного корпуса зависит и прочность корабля, него устойчивость, и скорость.
Высокие скорости движения заставили инженеров обратить серьезное внимание на форму современных поездов, самолетов, автомобилей. Именно от нее зависит встречное сопротивление воздуха, которое быстро возрастает с увеличением скорости. А если форма будет удачной, обтекаемой, сопротивление воздуха можно значительно уменьшить. Например гоночный автомобиль; его кузову придают такую форму, чтобы встречные потоки воздуха плавно обтекали машину и плотнее прижимали ее к земле (см. рис. ).
Мотор автомобиля заключен в обтекаемый капот, ветровое стекло отклонено назад, крыша кузова плавно переходит в наклонную заднюю стенку, И капот, и крыша, и задняя стенка не плоские. Они представляют собой сложные поверхности, с которыми школьная математика не имеет дела. Но ими очень интересуются инженеры, которые тщательно их рассчитывают в своих конструкторских бюро.
Мы живем в эпоху завоевания космоса. Наши ракеты запускают космические корабли, спутники Земли. Космическая лаборатория сфотографировала обратную сторону Луны.
Какие геометрические формы мы здесь используем? В основе корпус ракеты состоит из цилиндра, заключающего внутри себя двигатели и горючее. В конической головной части помещается кабина с приборами или с космонавтом (см. рис.).
Итак, мы познакомились со множеством различных линий, поверхностей и тел, которые нас окружают. Теперь вы и сами, несомненно, заметите множество геометрических форм, о которых мы здесь не упоминали.
Впрочем, об одной из них, о линии, которую никто не видит, но которая всегда находится около нас, мы расскажем, ибо заметить ее самому, ничего не зная о ней заранее, невозможно.
Пол и потолок в нашей комнате поддерживаются балками, концы которых вмурованы в стены. Балки под влиянием большой нагрузки слегка прогибаются (этот прогиб незаметен для глаза), и, чтобы рассчитать допустимую нагрузку на балки, архитектор должен знать линию ее прогиба. Оказывается, балка, поддерживающая пол или потолок, прогибается по кривой, которая называется параболой 4-й степени. Не будет преувеличением сказать, что эта линия всегда находится у нас под ногами и всегда висит над нашей головой.
Мы видим, сколько самых разнообразных геометрических линии и поверхностей использует человек в своей деятельности — при строительстве жилищ, фабрик, заводов, мостов, машин, в транспорте. Пользуется же он ими не из простой любви к интересным геометрическим фигурам, а потому, что свойства этих геометрических линий и поверхностей позволяют с наибольшей простотой решать разнообразные технические задачи.
Но чтобы применять эти свойства в технике, надо их знать. Следовательно, надо изучать все эти линии и поверхности. И не только их, но и многие другие, так как техника развивается и с каждым годом использует для своих нужд все новые и новые геометрические формы. Изучая свойства разных линий и поверхностей, мы ставим себе целью выразить эти свойства в виде формул, чтобы уметь по ним производить расчеты машин, зданий и других сооружений.
До сих пор мы в основном упоминали о геометрических формах, созданных руками человека. Однако и в самой природе очень много замечательных геометрических форм.
Так, мы живем на своеобразной поверхности, которая хотя и именуется земным шаром, но на самом деле является, как говорят астрономы, геоидом и по форме очень близка к эллипсоиду вращения (рис.). Этот эллипсоид образован вращением эллипса вокруг его малой оси. Правда, он мало отличается от шара (полуоси эллипса, вращением которого образован эллипсоид, относятся друг к другу как 299/300). Но все-таки это различие приходится принимать во внимание при составлении географических карт.
Взглянем на кристаллы (рис.). Мы обнаружим в них сочетание призм, пирамид и других многогранников.
Листья на деревьях ограничены самыми причудливыми линиями.
Ничего не может быть проще и однообразнее для глаза, чем безграничная плоская поверхность моря в безветренную погоду. Но сколько хлопот причиняет людям морская поверхность, едва подует ветер! Вначале образуются небольшие волны, потом они принимают самую причудливую геометрическую форму, сталкиваясь между собой, обгоняя друг друга, попадая в узкие проливы или на отмели, ударяясь о стенки молов и причалов. Формы поверхности этих волн приходится изучать в физике и механике, так как на основе этого изучения проектируются корпуса кораблей, наименее подверженные качке, а также наиболее прочные стенки волнорезов и набережных, успешно сопротивляющиеся ударам волн.
Во многих случаях наблюдения над явлениями природы помогают человеку в решении его технических задач. Достаточно сказать, что на заре развития авиации наш знаменитый ученый Н. Е. Жуковский, которого В. И. Ленин назвал «отцом русской авиации», и С. А. Чаплыгин исследовали полет птиц, чтобы сделать выводы относительно наивыгоднейшей формы крыла самолета и условий его полета.
Из всего сказанного видно, какую важную роль в нашей жизни играет геометрия.
Наша школьная, элементарная геометрия изучает лишь простейшие из геометрических фигур. Но существуют и другие геометрические науки, изучающие более сложные линии и поверхности.
|
