.
Меню сайта
|
Интегрирование многочленовИнтегрирование многочленовТеперь уже нетрудно научиться вычислять интеграл от любого многочлена. Сделаем предварительно два простых, но очень важных замечания. Первое замечание. Пусть два тела М1 и М2 движутся в одном и том же направлении, причем так, что скорость тела М2 в каждый момент времени в k раз больше скорости тела М1. Тогда ясно, что и путь, пройденный телом M2, будет в k раз больше пути, пройденного за то же время телом M1. Запишем этот очевидный факт формулой. Обозначим скорость тела M1 в момент t через v(t), тогда скорость тела М2 в тот же момент равна kv(t). Пути s1 и s2, пройденные телами М1 и M2 за промежуток времени от t=0 до t=T, равны следующим интегралам:
Но так как путь, пройденный вторым телом, в k раз больше пути, пройденного первым телом (т. е. s2=ks1), то
Иначе говоря, числовой (постоянный) множитель можно выносить из-под знака интеграла. Второе замечание. Пусть тело М1 движется в некотором направлении, а по его поверхности движется в том же направлении тело М2. Например, баржа плывет по реке, а по ее па- лубе идет человек. Обозначим скорость движения тела M1 через v1(t), а скорость перемещения тела М2 по поверхности тела М1 — через v2(t). Тогда путь, пройденный телом М1 за время от t=0 до t=T, равен
а путь, пройденный телом M2 по поверхности тела М1, равен Общий же путь, пройденный в пространстве телом M2 (как за счет собственного движения, так и за счет движения тела М1, которое его везет), равен
Но ясно, что скорость перемещения тела М2 в пространстве равна v1(t)+v2(t), так что путь, пройденный этим телом, имеет значение: Приравнивая оба найденных значения пути, получим:
т. е. интеграл от суммы двух (или нескольких) функций равен сумме интегралов от слагаемых. Переходим к интегрированию многочленов. Пусть, например, нужно вычислить интеграл
Во втором и третьем интегралах можно вынести за знак интеграла числовой множитель, после чего легко получим ответ:
Иначе говоря, интегрировать многочлены можно почленно. Вообще, если некоторый многочлен n-й степени, то его интеграл находится по формуле:
|
ПОИСК
Block title
|