.
Меню сайта
|
АЛГЕБРА МНОЖЕСТВ И АЛГЕБРА ЛОГИКИ. Алгебра чиселАЛГЕБРА МНОЖЕСТВ И АЛГЕБРА ЛОГИКИ. Алгебра чиселВ арифметике и алгебре рассматривают числа разной природы — целые числа, рациональные числа (дроби) и другие. Во всех случаях с каждыми двумя числами а и b сопоставляются еще два числа a+b и ab, называемые суммой и произведением чисел а и b. Определение суммы и произведения двух чисел различно для чисел разной природы. Так, если a есть целое положительное число, то его можно представлять себе как число предметов в некотором наборе. При этом сумма а + b означает число предметов, которое мы получим, если объединим первый набор, содержащий а предметов, и второй набор, содержащий b предметов (рис. 1). Если же объединим b наборов, каждый из которых содержит по а предметов, то всего мы получим ab предметов (рис.2) Более сложно определяются сумма и произведение дробей — например, так:
Здесь числа a1, a2, b1, b2 — целые. Иные правила относятся к сложению и умножению отрицательных чисел: среди этих правил есть, скажем, такое: (- а)(-b)=+ab. Но независимо от природы рассматриваемых чисел и от определения суммы и произведения чисел общие законы действия над числами остаются одни и те же. Вот эти законы: а+b=b+a (коммутативный, или переместительный, закон для сложения); ab=ba (коммутативный, или переместительный, закон для умножения); (а+b)+с=а+(b+с) (ассоциативный, или сочетательный, закон для сложения); (ab)c =а(bс) (ассоциативный, или сочетательный, закон для умножения); (а+b)с=ас+bc (дистрибутивный, или распределительный, закон). При этом сразу бросается в глаза, что правила, относящиеся к сложению чисел, очень похожи на правила умножения. Например: а+b=b+a и аb=bа, (а+b)+с=а+(b+с) и (аb)с= а(bс). Это сходство между действиями сложения и умножения находит отражение и в существовании двух замечательных чисел 0 и 1 —таких, что прибавление одного из них и умножение на второе не меняют ни одного числа: a+0=а и a•1=а. Следует, впрочем, заметить, что сходство между действиями сложения и умножения не простирается особенно далеко. Так, например, число 0 играет особую роль не только по отношению к сложению, но и по отношению к умножению: эта особая роль числа 0 определяется замечательным равенством а•0=0. (Из этого равенства, в частности, вытекает, что делить на 0 число нельзя.) В противоположность этому, число 1 по отношению к операции сложения не играет никакой особой роли: равенство, которое получается из равенства а • 0 = 0 заменой числа 0 на число 1 и операции умножения — операцией сложения: а + 1 = 1, почти никогда не будет верным. (Это равенство справедливо лишь при а =0.) Также и дистрибутивный закон: (а+b)с=ас+bc подчеркивает различие между действиями сложения и умножения. Если заменить в записи этого закона сложение умножением и наоборот, то получим курьезное «равенство»: (а•b)+с=(а+с)•(b+с), как правило, не выполняющееся: так, 1•2+3=5, а (1+3)•(2+3)=20. (Равенство (а •b)+с=(а+с)•(b+с) справедливо лишь при с=0 и при а+b+с=1.) В математике, однако, операции сложения и умножения определяются не только для чисел. При этом иногда удается прийти к «алгебре», в которой сходство между операциями сложения и умножения оказывается большим, чем в обычной «числовой» алгебре. В качестве примера можно указать «алгебру множеств».
|
ПОИСК
Block title
|