Детская энциклопедия

Меню сайта











Алгебра множеств

Рассмотрим систему всевозможных мно­жеств (совокупностей) тех или иных объектов; для конкретности будем все время говорить о множествах учеников нашего класса.

Сумму А + В двух множеств А и В определим как такое множество, которое по­лучается при объединении множеств А и В; другими словами, в множество А + В входят все те, и только те объекты, которые входят в множество А или в множество В. Так, например, если А есть множество отлич­ников из нашего класса, состоящее из учени­ков Пети, Саши, Кати, Веры и Наташи, а В —множество учеников, сидящих в первом ряду, и состоящее из школьников Ильи, Гриши, Зои, Кати, Наташи и Яши, то сумма А + В этих двух множеств состоит из учеников, которые являются отличниками или сидят в первом ряду; в нее входят ученики Петя, Саша, Катя, Вера, Наташа, Илья, Гриша, Зоя и Яша (рис. 3).

То обстоятельство, что мы назвали «сложе­нием» совершенно новую операцию, не должно нас смущать,— ведь мы и раньше каждый раз, когда переходили от чисел одной природы к числам другой природы, определяли сложение по-новому. Ясно, например, что сложение по­ложительных и отрицательных чисел — это не то же самое, что сложение одних положи­тельных чисел; так, сумма чисел 5 и (-3) — это то же самое, что разность чисел 5 и 3. Сложение дробей — не то же самое, что сложение целых чисел; рис. 1, изображающий сложение чисел, становится непригоден, когда речь заходит о дробях. Однако, называя уже знакомым нам словом «сложение» новую опе­рацию, мы каждый раз должны были лишь «доучиваться», но не «переучиваться»,— навы­ки, выработавшиеся в процессе действий с целыми числами, оказываются полезными и при действиях с дробями, правила действий над положительными числами полезны и при дей­ствиях с относительными числами и т. д. Это связано с тем, что общие законы, которым под­чиняется операция сложения целых чисел, ос­таются в силе и в дальнейшем, скажем при переходе к дробным числам; так, в обоих слу­чаях сложение коммутативно (т. е. а+b= b+а) и ассоциативно: +b)+с=а+(b+с).

Посмотрим теперь, сохраняют ли силу эти законы и для множеств. При этом нам удобно будет использовать специальные диаграммы, иллюстрирующие действия над множествами. Условимся обозначать весь класс (точнее гово­ря, множество всех учеников класса) квад­ратом; в этом квадрате можно расставить ряд точек, по числу учеников (рис. 4). При этом отдельные множества учеников будут изобра­жаться частями квадрата; так, например, изоб­раженная на рис. 5, а фигура графически иллю­стрирует множество А отличников, а изобра­женная на рис. 5,б — множество В учеников, сидящих в первом ряду. Под суммой двух мно­жеств А и В понимается фигура, получаемая объединением фигур, изображающих мно­жества А и В (рис. 6).

Такие диаграммы принято называть диа­граммами Эйлера или диаграммами Венна. Они позволяют наглядно представить операцию сложения множеств и проверить ее свойства.

Ясно, например, что А+В=В+А (коммутативный закон для сложения множеств; рис. 7). Также ясно, что

(А+В)+С=А+(В+С) (ассоциативный закон для сложения множеств; рис. 8). Сумму +В)+С=А+(В+С) естественно обозначать просто через А+В+С (без скобок).

Определим теперь произведение А•В или АВ двух множеств А и В как множество, получаемое в пере­сечении множеств

А и В; другими словами, в множество АВ вхо­дят те, и только те, элементы, которые входят как в множество А, так и в множество В. Так, например, если А и В — указанные выше мно­жество отличников и множество учеников, сидя­щих в классе в первом ряду, то множество АВ состоит из тех учеников, которые являются отличниками и сидят в первом ряду; оно со­стоит всего из двух учеников — Кати и Наташи (рис. 9). На рис. 10 то же множество АВ изоб­ражено на диаграмме как пересечение множеств А и В.

Использование термина «произведение» в совершенно новом смысле оправдывается тем обстоятельством, что, как и для обыкновенного умножения, мы имеем: АВ=ВА (ком­мутативный закон для умножения множеств; рис. 11) и (АВ)С=А(ВС) (ассоциативный закон для умножения мно­жеств; рис. 12). Множе­ство (АВ)С=А(ВС) естественно обозначать просто через АBС (без скобок).

Проверим теперь, выполняется ли для мно­жеств дистрибутивный закон. На рис. 13, а заштрихованы множества A+В и С, при этом двойной штриховкой оказывается покрыто мно­жество + В) С. На рис. 13, б различно за­штрихованы АС к ВС; при этом как-то заштри­ховано множество А С + ВС. Но легко видеть, что множество, покрытое двойной штриховкой на рис. 13, а,— это в точности то множество, которое заштриховано на рис. 13, б. Отсюда заключаем: в «алгебре множеств» выполняется дистрибутивный закон:+В)С=АС+ВС.

 

 

 

 




 
Календарь
«  Декабрь 2016  »
ПнВтСрЧтПтСбВс
   1234
567891011
12131415161718
19202122232425
262728293031

Новые статьи
Каталог статей
Как подготовить ребенка к школе
Освоение навыков чтения
Природные материалы на уроках труда

Статистика




 
Адрес почты Вопросы по рекомендациям, размещению рекламы и обратных ссылок обращайтесь pochta@enciklopediya1.ru
2013 © 2016