Детская энциклопедия

Меню сайта











Три „средних"

Пусть а и b — произвольные положительные числа. Тогда

 

 — среднее арифметическое чисел а и b,

 

среднее геометрическое чисел а и b,

 

— среднее гармоническое чисел а и b.

Убедитесь сами, что:

а) Среднее гармоническое равно отношению квадрата среднего геометрического к среднему арифметическому.

б) Если написать подряд:

 

то образуются три члена арифметической прогрессии.

в) Если написать подряд:

то об­разуются три члена геометрической прогрессии.

г) Если взять числа, обратные а и b, составить их среднее арифметическое, а потом снова перейти к обратному числу, то получится среднее гармо­ническое чисел a и b.

д) Среднее арифметическое а и b не меньше среднего геометрического тех же чисел, а послед­нее не меньше их среднего гармонического:

 

Докажите, что равенство здесь возможно толь­ко при а=b.

е) Если написать подряд:

 

и бук­вам а, b придать значения

 

где k — любое целое положительное число, то среднее гармоническое чисел а и b, т. е.

 

примет значение

 

  равное среднему члену последовательности :

 

Последовательность такого вида называется гармонической. Следом за тремя членами этой последователь­ности можно образовать четвертый член:

 

  затем пятый:



и т. д.

Соединяя члены последовательности знаком «+» и полагая k=1, получим числовой ряд:

 

который называется гармоническим. Еще Лейбниц доказал, что сумма

 

 бесконечно возрастает, когда n неограниченно растет. Это означает, что, гармо­нический ряд расходится. Но если перед членами ряда чередовать знаки ±, то получится сходящийся ряд

 


сумма которого равна натуральному логарифму In2=0,6993... Пусть АС=а, ВС=b, АВ=а+b — диаметр окружности;




Для изобра­жения среднего гармонического проведем допол­нительно OD и

Тогда вы легко докажетe, что




а также, что CD2=ODDF. Тем самым дополнитель­но будет установ­лено любопытное соотношение меж­ду тремя «средними»: среднее геометрическое двух положительных чисел является средним геометри­ческим между их средним арифметическим и сред­ним гармоническим.

 

 




 
Календарь
«  Декабрь 2016  »
ПнВтСрЧтПтСбВс
   1234
567891011
12131415161718
19202122232425
262728293031

Новые статьи
Каталог статей
Как подготовить ребенка к школе
Освоение навыков чтения
Природные материалы на уроках труда

Статистика




 
Адрес почты Вопросы по рекомендациям, размещению рекламы и обратных ссылок обращайтесь pochta@enciklopediya1.ru
2013 © 2016